በ Chebyshev እኩልነት እና በማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ ላይ 13 እውነታዎች

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ የ Chebyshev አለመመጣጠን & Central limit theorem በግምት መደበኛ ሁኔታ ውስጥ ብዙ ቁጥር ያላቸው የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ዕድል ስርጭት ለማግኘት የምንፈልግባቸውን ሁኔታዎች ይመለከታል። ገደቡ ንድፈ ሃሳቦችን ከመመልከታችን በፊት አንዳንድ ልዩነቶችን እናያለን። አማካኝ እና ልዩነት ይታወቃል.

የማርኮቭ እኩልነት

ለ a> 0 አዎንታዊ እሴት ብቻ የሚወስደው የማርኮቭ ልዩነት ለተለዋዋጭ ተለዋዋጭ X ነው።

ይህንን ለማረጋገጥ ለ> 0 ግምት

ጀምሮ

አሁን ይህንን እኩልነት እየጠበቅን ነው

ምክንያቱ ነው።

ይህም የማርኮቭን እኩልነት ለ a> 0 ይሰጣል

የ Chebyshev እኩልነት

 ለመጨረሻው አማካይ እና የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት X የ Chebyshev አለመመጣጠን ለ k>0 ነው።

ሲግማ እና ሙ የነሲብ ተለዋዋጭ ልዩነት እና አማካኝን የሚወክሉበት፣ ይህንን ለማረጋገጥ እንጠቀማለን። የማርኮቭ እኩልነት እንደ አሉታዊ ያልሆነ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ

እንደ ቋሚ ካሬ ዋጋ, ስለዚህ

ይህ እኩልታ እኩል ነው።

በግልጽ እንደሚታየው

የማርኮቭ እና የቼቢሼቭ አለመመጣጠን ምሳሌዎች፡-

  1. የአንድ የተወሰነ ዕቃ ምርት በአማካይ 50 ለሣምንት በዘፈቀደ ተለዋዋጭነት ከተወሰደ፣በሳምንት ውስጥ ከ75 በላይ የማምረት እድሎችን ይፈልጉ እና የሳምንት ምርት በ40 እና 60 መካከል ከሆነ የዚያ ልዩነት ከሆነ ምን ሊሆን እንደሚችል ይፈልጉ። ሳምንቱ 25 ነው?

መፍትሔው፡ ለአንድ ሳምንት ያህል ዕቃውን ለማምረት የዘፈቀደውን ተለዋዋጭ X ግምት ውስጥ ያስገቡ ከዚያም ከ 75 በላይ የማምረት እድልን ለማግኘት እንጠቀማለን. የማርኮቭ እኩልነት as

አሁን ከ40 እስከ 60 ባለው ጊዜ ውስጥ የማምረት እድሉ ከ 25 ልዩነት ጋር እንጠቀማለን። የ Chebyshev እኩልነት as

so

ይህ የሚያሳየው ምርቱ ከ40 እስከ 60 ከሆነ 3/4 ከሆነ የሳምንቱን እድል ያሳያል።

2. አሳይ የ chebyshev እኩልነት ከፍያለ ገደቡን የሚያቀርበው በተለይ ከትክክለኛው የይርጋ እሴት ጋር የቀረበ አይደለም።

መፍትሔው ምንድን ነው?

የነሲብ ተለዋዋጭ X አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ከአማካይ 5 ጋር እና ልዩነት 25/3 በክፍተቱ (0,1፣XNUMX) ከዚያም በ የ chebyshev እኩልነት ብለን መፃፍ እንችላለን

ግን ትክክለኛው ዕድል ይሆናል

የነሲብ ተለዋዋጭ የሆነውን X በመደበኛነት በአማካኝ እና በልዩነት እንደተሰራጨ ከወሰድን ከትክክለኛው ዕድል በጣም የራቀ ነው። የ Chebyshev እኩልነት ይሆናል

ግን ትክክለኛው ዕድል ነው።

የትልቅ ቁጥሮች ደካማ ህግ

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል ደካማ ህግ በሚከተለው ውጤት ይከተላል የ Chebyshev እኩልነት ለማረጋገጫ እንደ መሳሪያ መጠቀም ይቻላል ለምሳሌ ለማረጋገጥ

ልዩነቱ ዜሮ ከሆነ ከ 0 ጋር እኩል የሆነ ልዩነቱ በዘፈቀደ ተለዋዋጮች ብቻ ቋሚነት ያላቸው ሊሆኑ የሚችሉ ናቸው 1 ስለዚህ በ የ Chebyshev እኩልነት ለ n ከ 1 በላይ ወይም እኩል ነው።

as

በችሎታው ቀጣይነት

ውጤቱን የሚያረጋግጥ.

ይህንን ለማረጋገጥ ልዩነት በቅደም ተከተል ለእያንዳንዱ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንዲሁ የተወሰነ ነው ብለን እንገምታለን ስለዚህም መጠበቅ እና ልዩነት

አሁን ከ የ Chebyshev እኩልነት የእድላቸው የላይኛው ወሰን እንደ

ይህም ለ n ወደ ማለቂያ የሌለው ዝንባሌ ይሆናል

ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ

ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ ለትልቅ ቁጥሮች ድምር ማከፋፈያው ስለሚሰጥ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ በጣም አስፈላጊ ከሆኑ ውጤቶች አንዱ ነው ይህም በግምት መደበኛ ነው። ስርጭት ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ግምታዊ ፕሮባቢሊቲ ለማግኘት ዘዴው በተጨማሪ ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሬም እንዲሁ የብዙ የተፈጥሮ ህዝቦች ተጨባጭ ድግግሞሽ ያሳያል ደወል-ቅርጽ ያለው መደበኛ ኩርባዎችን ያሳያል ፣ የዚህን ቲዎሬም ዝርዝር ማብራሪያ ከመስጠታችን በፊት ውጤቱን እንጠቀማለን ።

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል Z ከሆነ1,Z2፣…. የማከፋፈያ ተግባር እና ቅጽበት የማመንጨት ተግባር እንደ ኤፍZn እና መzn እንግዲህ

ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪበተመሳሳይ ለተከፋፈሉ እና ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X1,X2፣……. እያንዳንዳቸው አማካኝ μ እና ልዩነት σ2 ከዚያም የድምሩ ስርጭት

n እውነተኛ እሴቶች ለመሆን ወደ ማለቂያነት ስለሚሄድ ወደ መደበኛው መደበኛ ያደላል።

ማረጋገጫ፡ ውጤቱን ለማረጋገጥ ትርጉሙን እንደ ዜሮ እና ልዩነት እንደ አንድ ማለትም μ=0 & σ2=1 እና ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ለ Xi አለ እና የተወሰነ ዋጋ ያለው ስለዚህ ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ለነሲብ ተለዋዋጭ Xi/√n ይሆናል።

hene ቅጽበት ማመንጨት ተግባር ለ ድምር ΣXi/√n ይሆናል።

አሁን L(t)=logM(t) እንውሰድ

so

በመጀመሪያ የምናሳየውን ማስረጃ ለማሳየት

ተመጣጣኝ ቅጹን በማሳየት

ስለዚህ ይህ በአማካይ ዜሮ እና ልዩነት 1 ውጤቱን ያሳያል, እና ይህ ተመሳሳይ ውጤት ለአጠቃላይ ጉዳይም እንዲሁ በመውሰድ ይከተላል.

እና ለእያንዳንዱ a አለን

የማዕከላዊ ገደብ ቲዎሬም ምሳሌ

የከዋክብትን የብርሀን አመት ርቀት ከከዋክብት ሊቃውንት ላብራቶሪ ለማስላት አንዳንድ የመለኪያ ቴክኒኮችን እየተጠቀመ ነው ነገር ግን በከባቢ አየር ለውጥ ምክንያት በእያንዳንዱ ጊዜ የሚለካው ርቀት ትክክለኛ አይደለም ነገር ግን በተወሰነ ስህተት ነው ስለዚህ ያቀደውን ትክክለኛ ርቀት ለማወቅ በተከታታይ በተከታታይ እና የእነዚህን ርቀቶች አማካኝ እንደ ግምታዊ ርቀት ይመልከቱ ፣ የመለኪያ እሴቶችን በተመሳሳይ ሁኔታ የተከፋፈለ እና ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከአማካይ መ እና ልዩነት 4 የብርሃን ዓመት ጋር ካገናዘበ ፣ የ 0.5 ስህተቱን ለማግኘት የሚለካውን የመለኪያ ብዛት ይፈልጉ። በተገመተው እና በተጨባጭ ዋጋ?

መፍትሄ፡ መለኪያዎቹን እንደ ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች በቅደም ተከተል X እንይ1,X2፣…….Xn ስለዚህ በ ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ ብለን መፃፍ እንችላለን

መደበኛ ወደ approximation ነው መደበኛ ስርጭት ስለዚህ እድሉ ይሆናል

ስለዚህ የመለኪያውን ትክክለኛነት በ 95 በመቶ ለማግኘት የሥነ ፈለክ ተመራማሪው n * ርቀቶችን መለካት አለበት።

ስለዚህ ከተለመደው የስርጭት ሠንጠረዥ እንደ መጻፍ እንችላለን

ልኬቱ ለ 62 ጊዜዎች መከናወን እንዳለበት የሚናገረው, ይህ ደግሞ በመታገዝ ሊታይ ይችላል የ Chebyshev እኩልነት በመውሰድ

ስለዚህ አለመመጣጠን ያስከትላል

ስለዚህም ለ n=16/0.05=320 ይህም በኮከብ ምልከታዎች ላብራቶሪ ርቀት መለኪያ ላይ o.5 በመቶ ስህተት ብቻ እንደሚኖር እርግጠኛነትን ይሰጣል።

2. የኢንጂነሪንግ ኮርስ የተቀበሉ ተማሪዎች ብዛት ፖይሰን በአማካይ 100 ተከፋፍሏል ፣ የተቀበሉት ተማሪዎች 120 እና ከዚያ በላይ ከሆኑ ትምህርቱ በሁለት ክፍል እንዲሰጥ ተወስኗል ፣ ካልሆነ ግን በአንድ ክፍል ብቻ ፣ ሊኖር ይችላል ለትምህርቱ ሁለት ክፍሎች ይሁኑ?

መፍትሄ፡ የፖይሰን ስርጭትን በመከተል ትክክለኛው መፍትሄ ይሆናል።

የተለየ አሃዛዊ እሴት የማይሰጥ ግልጽ ነው፣የነሲብ ተለዋዋጭ Xን ከተመለከትን ተማሪዎቹ በዚያን ጊዜ እንደገቡት ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ

ይህም ሊሆን ይችላል

ይህም የቁጥር እሴት ነው.

3. በአስር ላይ ያለው ድምር በሚጠቀለልበት ጊዜ የመሞት እድሉ በ30 እና 40 መካከል ሊሆን የሚችለውን 30 እና 40 ጨምሮ አስላ?

መፍትሄ፡- እዚህ ላይ ሟቹን እንደ X ግምት ውስጥ በማስገባት ነው።i ለአስር ዋጋዎች i. አማካኙ እና ልዩነት ይሆናሉ

ስለዚህ ተከትሎ ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ ብለን መፃፍ እንችላለን

የሚፈለገው ዕድል ነው.

4. ወጥ በሆነ መልኩ ለተከፋፈለው ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች Xi በጊዜ ክፍተት (0,1) ላይ የመሆን እድሉ ምን ያህል ይሆናል

መፍትሄ፡ ከዩኒፍሮም ስርጭት አማካኙ እና ልዩነት እንደሚሆኑ እናውቃለን

አሁን በመጠቀም ላይ ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ እንችላለን

ስለዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ድምር 14 በመቶ ይሆናል።

5. የፈተና ገምጋሚው ውጤት የመስጠት እድሉ ከ25 ደቂቃ ጀምሮ 450 ፈተናዎች 50 ፈተናዎች ካሉ በአማካይ 20 ደቂቃ እና መደበኛ ዳይሬሽን 4 ደቂቃ ይሆናል።

መፍትሄ፡ ፈተናውን በዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ደረጃ ለመስጠት የሚፈልገውን ጊዜ ግምት ውስጥ ያስገቡi ስለዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ይሆናል።

ይህ ተግባር ለ 25 ፈተና ከ 450 ደቂቃዎች ጋር ነው

እዚህ በመጠቀም ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ

የሚፈለገው ዕድል ነው.

ለገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ

ለተመሳሳይ ያልተከፋፈለ ነገር ግን ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X ላለው ተከታታይ1,X2፣……. እያንዳንዳቸው አማካኝ μ እና ልዩነት አላቸው። σ2 እስካሟላ ድረስ

  1. እያንዳንዱ Xi ወጥ በሆነ መልኩ የታሰረ ነው።
  2. የልዩነቶች ድምር ማለቂያ የለውም፣ ከዚያ

የትልቅ ቁጥሮች ጠንካራ ህግ

የትልቅ ቁጥሮች ጠንካራ ህግ በጣም ወሳኝ ጽንሰ-ሀሳብ ነው ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ በተለምዶ የሚሰራጩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ ተከታታዮች ከእድል ጋር አንድ ወደዚያ ተመሳሳይ ስርጭት አማካኝ ይሆናል ይላል።

ሐሳብ: ለተመሳሳይ ቅደም ተከተል ተከፋፍሏል እና ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X1,X2፣……. እያንዳንዳቸው የመጨረሻ አማካኝ እና ፕሮባቢሊቲ አንድ አላቸው

ማረጋገጫ፡ ይህንን ለማረጋገጥ የእያንዳንዱ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ ዜሮ እና ተከታታዮቹን አስቡበት

አሁን ለዚህ ኃይሉን አስቡበት

የቀኝ እጅ ቃላትን መስፋፋት ከወሰድን በኋላ የቅጹ ውሎች አሉን።

እነዚህ ገለልተኛ ስለሆኑ የእነዚህ አማካኝ ይሆናል።

በጥንድ ጥምር እርዳታ የተከታታይ መስፋፋት አሁን ይሆናል

so

እናገኛለን

ይህ አለመመጣጠን ይጠቁማል

ስለዚህ

የእያንዳንዱ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ዕድል አንድ ስለሆነ በተከታታዩ ውህደት

የእያንዳንዱ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ እንግዲያውስ በማፈንገጥ እና በይሆናልነት አንድ ብለን መፃፍ እንችላለን።

or

የሚፈለገው ውጤት.

አንድ ጎን Chebyshev አለመመጣጠን

የአንድ ወገን Chebysheve አለመመጣጠን ለነሲብ ተለዋዋጭ X ከአማካይ ዜሮ እና ውሱን ልዩነት a>0 ከሆነ

የ Chebyshev አለመመጣጠን
chebyshev አለመመጣጠን

ይህንን ለማረጋገጥ ለb>0 አስቡበት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X እንደ

የሚሰጠው

ስለዚህ በመጠቀም የማርኮቭ እኩልነት

የ Chebyshev አለመመጣጠን
አንድ ጎን chebyshev

አስፈላጊውን እኩልነት የሚሰጥ. ለአማካኝ እና ለልዩነት እኛ እንደ መጻፍ እንችላለን

ይህ ተጨማሪ ተብሎ ሊጻፍ ይችላል

ለምሳሌ:

የዚህ የተወሰነ ኩባንያ ምርት በአማካይ 120 እና ልዩነት 100 ከሆነ ፣ በዘፈቀደ የሚሰራጨው የኩባንያው ምርት ቢያንስ 400 ይሆናል ተብሎ የሚገመተውን ከፍተኛ ወሰን ይፈልጉ።

መፍትሔው ምንድን ነው?

አንድ ጎን በመጠቀም chebyshev አለመመጣጠን

ስለዚህ ይህ በሳምንት ውስጥ ቢያንስ 120 1/2 የሚሆነውን የምርት እድል ይሰጣል ፣ አሁን የዚህ ዕድል ወሰን የሚገኘው በመጠቀም ነው ። የማርኮቭ እኩልነት

ለችሎታው የላይኛውን ወሰን የሚያሳየው.

ለምሳሌ:

መቶ ጥንዶች ከሁለት መቶ ሰዎች የተወሰዱት መቶ ወንዶች እና መቶ ሴቶች ሲሆኑ ቢበዛ ሠላሳ ጥንዶች ወንድና ሴት ይሆናሉ ተብሎ የሚገመተውን ከፍተኛ ወሰን አግኝተዋል።

መፍትሔው ምንድን ነው?

የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ይሁንi as

ስለዚህ ጥንድው እንደ ሊገለጽ ይችላል

እያንዳንዱ ወንድ እኩል ሊሆን ስለሚችል በመቶዎች የሚቆጠሩ ሴቶች ሲሆኑ ከቀሩት ሰዎች ጋር ሊጣመር ይችላል

በተመሳሳይ መልኩ እኔ እና j እኩል ካልሆኑ

as

ስለዚህም አለን።

በመጠቀም chebyshev አለመመጣጠን

30 ወንዶችን ከሴቶች ጋር የማጣመር እድሉ ከስድስት በታች መሆኑን ይነግረናል, ስለዚህ በመጠቀም ጥረቱን ማሻሻል እንችላለን. አንድ ጎን chebyshev አለመመጣጠን

Chernoff ቦንድ

የአፍታ ማመንጨት ተግባር ቀድሞውኑ የሚታወቅ ከሆነ

as

በተመሳሳይ መንገድ ለ t<0 እንደ መጻፍ እንችላለን

ስለዚህ የቼርኖፍ ወሰን እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል

ይህ አለመመጣጠን ሁሉንም የቲ እሴቶች አወንታዊም ሆነ አሉታዊ ነው።

ቼርኖፍ ለመደበኛ መደበኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ወሰን

ቼርኖፍ ለደረጃው ወሰን መደበኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የማን አፍታ የማመንጨት ተግባር

is

ስለዚህ ይህንን እኩልነት መቀነስ እና የቀኝ እጅ የኃይል ውሎች ለ> 0 ይሰጣል

እና ለ<0 ነው።

Chernoff ለ Poisson የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ወሰኖች

ቼርኖፍ የአፍታ ማመንጨት ተግባሩን ከPoisson የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ጋር ያገናኛል።

is

ስለዚህ ይህንን እኩልነት መቀነስ እና የቀኝ እጅ የኃይል ውሎች ለ> 0 ይሰጣል

እና ይሆናል

በቼርኖፍ ቦንድ ላይ ምሳሌ

በአንድ ጨዋታ ውስጥ አንድ ተጫዋች ካለፈው ነጥብ ነፃ ሆኖ ጨዋታውን የማሸነፍ ወይም የመሸነፍ ዕድሉ ካለበት ቼርኖፍ ለዕድልነቱ የታሰረ መሆኑን ያግኙ።

መፍትሄው፡ X ይሁንi የተጫዋቹን አሸናፊነት ይግለጹ ፣ ከዚያ እድሉ ይሆናል።

ለ n ተውኔቶች ቅደም ተከተል

ስለዚህ የአፍታ ማመንጨት ተግባር ይሆናል

እዚህ ገላጭ ቃላትን ማስፋፋትን በመጠቀም

ስለዚህ አለን።

አሁን የአፍታ ማመንጨት ተግባርን ንብረት በመተግበር ላይ

ይህ እኩልነትን ይሰጣል

ስለዚህ

ማጠቃለያ:

የብዙዎቹ እኩልነት እና ገደብ ንድፈ ሃሳብ ተብራርቷል እና ለግምቶች ወሰን ትክክለኛ ምሳሌዎችም የሃሳቡን ጨረፍታ ለማግኘት ተወስደዋል ። ፅንሰ-ሀሳቡን በቀላሉ፣ ተጨማሪ ማንበብ ከፈለጉ ከዚህ በታች ያሉትን መጽሃፎች ወይም ለበለጠ ፕሮባብሊቲ አንቀጽ ይሂዱ፣ እባክዎ የእኛን ይከተሉ የሂሳብ ገጾች.

የመጀመሪያ ኮርስ በሼልደን ሮስ

የ Schaum የፕሮባቢሊቲ እና ስታቲስቲክስ ዝርዝሮች

በROHATGI እና SALEH የፕሮባቢሊቲ እና ስታቲስቲክስ መግቢያ

ወደ ላይ ሸብልል