Hermite Polynomial፡ 9 ሙሉ ፈጣን እውነታዎች

  የሄርሚት ፖሊኖሚል በመተግበሪያዎች ውስጥ እንደ orthogonal ተግባር በሰፊው ይከሰታል። የሄርሚት ፖሊኖሚል የሄርሚት ልዩነት እኩልታ ተከታታይ መፍትሄ ነው።

የሄርሚት እኩልታ

    የሁለተኛው ቅደም ተከተል ልዩነት ከተወሰኑ መጠኖች ጋር እንደ

d2y/dx2 - 2x dy/dx + 2xy = 0

የሄርሚት እኩልታ በመባል ይታወቃል፣ ይህንን ልዩነት በመፍታት ፖሊኖሚል እናገኛለን ሄርሚት ፖሊኖሚል.

የእኩልታውን መፍትሄ እንፈልግ

d2y/dx2 - 2x dy/dx + 2ny = 0

የልዩነት እኩልታ ተከታታይ መፍትሄ በመታገዝ

አሁን እነዚህን ሁሉ እሴቶች በ Hermite እኩልነት በመተካት እኛ ባለንበት

ይህ እኩልታ የ k=0 ዋጋን ያሟላል እና የ k ዋጋ አሉታዊ አይሆንም ብለን እንደገመትን፣ አሁን ለዝቅተኛው የዲግሪ ቃል xM-2 በመጀመሪያው እኩልታ k=0 ውሰዱ ሁለተኛው አሉታዊ እሴት ስለሚሰጥ የቁጥር መጠን xM-2 is

a0m (m-1)=0 ⇒ m=0፣m=1

እንደ0 . 0

አሁን በተመሳሳይ መልኩ የ x ን መጠንን በማመሳሰልM-1 ከሁለተኛው ማጠቃለያ

እና የ x አሃዞችን ማመሳሰልm+k ወደ ዜሮ,

aኪ + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ሀk(m+kn) = 0

ብለን መፃፍ እንችላለን

aኪ + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ሀk

m=0 ከሆነ

aኪ + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ሀk

m=1 ከሆነ

aኪ + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ሀk

ለእነዚህ ሁለት ጉዳዮች አሁን ስለ k

መቼ $m=0፣ ሀኪ + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ሀk$

ከሆነ፣$k=0 a2 = -2 n/2 አ0=-ና0$

$k=1፣ አ3=2(1-n)/6 አ1 =-2(n-1)/3! ሀ1$

$k=2 ከሆነ አ4 =2(2-n)/12 አ2 =2 (2-n)/12 (-ና0) = 2 እ.ኤ.አ.2 n (n-2)/4 ! ሀ0$

እስካሁን m=0 ሁለት ሁኔታዎች አሉን ሀ1=0፣ ከዚያ አ3=a5=a7=….=ሀ2r+1=0 እና መቼ ሀ1 ያኔ ዜሮ አይደለም።

ይህንን በመከተል የ a0,a1,a2,a3,a4 እና5 እና አለነ

እና ለ m=1 a1=0 k=0,1,2,3,…. በማስቀመጥ እናገኛለን

aኪ + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ሀk

ስለዚህ መፍትሄው ይሆናል

ስለዚህ ሙሉው መፍትሄ ነው

A እና B የዘፈቀደ ቋሚዎች ባሉበት

ሄርሚት ፖሊኖሚል

   የሄርሚት እኩልታ መፍትሄ y(x)=አይ ቅጽ ነው።1(x)+በ2(x) የት y1(x) እና y2(x) ከላይ የተገለጹት ተከታታይ ቃላት ናቸው፣

ከእነዚህ ተከታታዮች ውስጥ አንዱ የሚያበቃው n አሉታዊ ያልሆነ ኢንቲጀር ከሆነ n እንኳ y ከሆነ1 ያለበለዚያ ያበቃል y2 n እንግዳ ከሆነ እና በቀላሉ ለ n=0,1,2,3,4…….. እነዚህ ፖሊኖሚሎች ናቸው እናረጋግጣለን

1፣x፣1-2x2፣ x-2/3 x3, 1-4x2+4/3x4፣ x-4/3x3+ 4/15x5

ስለዚህ እዚህ ላይ የሄርሚት እኩልታ መፍትሄ የእነዚህ በርካታ ፖሊኖሚሎች ቋሚ ብዜቶች ናቸው እና የ x ከፍተኛ ኃይልን የያዙ ቃላቶች ቅጽ 2 ናቸው ማለት እንችላለንnxn በኤች የተመለከተውn(x) በመባል ይታወቃል Hermite ፖሊኖሚል

የ Hermite ፖሊኖሚል ማመንጨት ተግባር

የሄርሚት ፖሊኖሚል አብዛኛውን ጊዜ የማመንጨት ተግባርን በመጠቀም በግንኙነት እርዳታ ይገለጻል።

[n/2] ትልቁ ኢንቲጀር ከ n/2 ያነሰ ወይም እኩል ነው ስለዚህም የሱን ዋጋ ይከተላል Hn(x) as

ይህ የሚያሳየው መሆኑን ነው። Hn(x) የዲግሪ ፖሊኖሚል ነው በ x እና

Hn(x) = 2nxn + πn-2 (x)

የት πn-2 (x) በ x ውስጥ ያለው የዲግሪ n-2 ፖሊኖሚል ነው፣ እና ለ n እሴት እንኳን የ x ተግባር ይሆናል፣ እና የ x ያልተለመደ እሴት n፣ ስለዚህ

Hn(-x) = (-1)n Hn(x)

አንዳንድ የጀማሪ Hermite ፖሊኖማሎች ናቸው።

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 - 2

H3(x) = 8x3-12

H4(x) = 16x4 - 48x2+ 12

H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120 x

በሮድሪግ ፎርሙላ የሄርሚት ፖሊኖሚል ተግባር ማመንጨት

ሄርሚት ፖሊኖሚል የማመንጨት ተግባርን በመጠቀም በሮድሪግ ቀመር እርዳታ ሊገለጽ ይችላል።

ከማመንጨት ተግባር ጋር በተያያዘ

  የማክላሪን ቲዎሪ በመጠቀም፣ አለን።

or

z=xt እና በማስቀመጥ

ለ t=0፣ስለዚህ z=x ይሰጣል

ይህንን እንደ ሌላ መንገድ ማሳየት እንችላለን

መለየት

ከ t ጋር ይሰጣል

ገደብ መውሰድ ወደ ዜሮ ይቀየራል።

አሁን ከ x ጋር ይለያሉ

ገደብ መውሰድ ወደ ዜሮ ይቀየራል።

ከእነዚህ ሁለት አባባሎች መፃፍ እንችላለን

በተመሳሳይ መንገድ መጻፍ እንችላለን

 ልዩነት n ጊዜዎች t = 0, እኛ እናገኛለን

ከእነዚህ እሴቶች መፃፍ እንችላለን

ከእነዚህ ውስጥ እሴቶቹን ማግኘት እንችላለን

በHermite Polynomial ላይ ምሳሌ           

  1. የተለመደው ፖሊኖሚል ያግኙ

መፍትሄ፡ የሄርሚት ፖሊኖሚል ፍቺን እና ያለንን ግንኙነት በመጠቀም

2. ተራ ፖሊኖሚል የሄርሚት ፖሊኖሚል ያግኙ

መፍትሄ፡ የተሰጠውን እኩልታ ወደ Hermite እንደ መለወጥ እንችላለን

እና ከዚህ እኩልታ ተመሳሳዩን የሃይል ውህዶች ማመሳሰል

ስለዚህ የሄርሚት ፖሊኖሚል ይሆናል

የሄርሚት ፖሊኖሚል ኦርቶጎናዊነት | የሄርሚት ፖሊኖሚል ኦርቶጎን ንብረት

ለሄርሚት ፖሊኖሚል ጠቃሚ ባህሪው ይህን የሚገልጽ ኦርቶዶክሳዊነት ነው

ይህንን ኦርቶዶክሳዊነት ለማረጋገጥ ያንን እናስታውስ

ለሄርሚት ፖሊኖሚል የማመንጨት ተግባር እና እኛ እናውቃለን

ስለዚህ እነዚህን ሁለት እኩልታዎች በማባዛት እናገኛለን

ማለቂያ በሌለው ገደብ ውስጥ ማባዛትና ማዋሃድ

እና ከዚያ

so

ከላይ ባለው አገላለጽ ይህንን እሴት በመጠቀም

የሚሰጠው

አሁን በሁለቱም በኩል ያሉትን መለኪያዎችን እኩል ያድርጉ

የ Hermite ፖሊኖሚል ኦርቶጎን ባህሪን የሚያሳይ.

  የ Hermite polynomial orthogonal ንብረት ውጤት የተደጋጋሚነት ግንኙነትን ከግምት ውስጥ በማስገባት በሌላ መንገድ ማሳየት ይቻላል.

የሄርሚት ፖሊኖሚል ኦርቶጎናዊነት ምሳሌ

1. ዋናውን መገምገም

መፍትሄ፡ የሄርሚት ፖሊኖሚል ኦርቶጎናዊነት ንብረትን በመጠቀም

እዚህ ያሉት ዋጋዎች m=3 እና n=2 ስለሆኑ

2. ዋናውን መገምገም

መፍትሄ፡ የሄርሚት ፖሊኖሚል ኦርቶጎናዊ ባህሪን በመጠቀም መፃፍ እንችላለን

የ Hermite ፖሊኖሚል ተደጋጋሚ ግንኙነቶች

የ Hermite ፖሊኖሚል ዋጋ በተደጋጋሚ ግንኙነቶች በቀላሉ ሊታወቅ ይችላል

Hermite ፖሊኖሚል
የሄርሚት ፖሊኖሚል ድግግሞሽ ግንኙነቶች

እነዚህ ግንኙነቶች በትርጉም እና በንብረቶች እርዳታ በቀላሉ ሊገኙ ይችላሉ.

ማስረጃዎች፡1. የ Hermite እኩልታ እናውቃለን

y”-2xy'+2ny = 0

እና ግንኙነቱ

ከ x ጋር ልዩነትን በመውሰድ በከፊል እንደ መጻፍ እንችላለን

ከእነዚህ ሁለት እኩልታዎች

አሁን n በ n-1 ተካ

የቲ (coefficient of t) በማመሳሰልn

ስለዚህ የሚፈለገው ውጤት ነው

2. በተመሳሳይ መልኩ ከቲ እኩልዮሽ ጋር በከፊል መለየት

እናገኛለን

n=0 ይጠፋል ስለዚህ ይህን የ e ዋጋ በማስቀመጥ

አሁን የቲ ውህዶችን ማመሳሰልn

እንደዚህ

3. ይህንን ውጤት ለማረጋገጥ ኤችn-1

ስለዚህ እናገኛለን

ስለዚህ ውጤቱን መጻፍ እንችላለን

4. ይህንን ውጤት ለማረጋገጥ እንለያያለን

ግንኙነቱን እናገኛለን

ዋጋውን በመተካት

እና n በ n +1 በመተካት

የሚሰጠው

የ Hermite ፖሊኖሚል ተደጋጋሚ ግንኙነቶች ምሳሌዎች

1. አሳይ

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

መፍትሔው ምንድን ነው?

ያገኘነውን ውጤት ለማሳየት ነው።

H2n(x) =

x=0 መውሰድ እዚህ እናገኛለን

2. ያንን አሳይ

ሸ'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

መፍትሔው ምንድን ነው?

ከተደጋጋሚ ግንኙነት ጀምሮ

ሸ'n(x) = 2nHn-1(ኤክስ)

እዚህ n በ 2n+1 ተካ

ሸ'2n-1(x) = 2(2n+1) ሸ2n(x)

x=0 መውሰድ

3. ዋጋውን ያግኙ

H2n + 1(0)

መፍትሔ

ስለምናውቅ

እዚህ x=0 ይጠቀሙ

H2n-1(0) = 0

4. የ H' ዋጋን ይፈልጉ2n(0).

መፍትሔ :

ተደጋጋሚ ግንኙነት አለን።

ሸ'n(x) = 2nHn-1(x)

እዚህ n በ 2n ይተኩ

ሸ'2n(x) = 2 (2n) ኤች2n-1(x)

x=0 አስቀምጥ

ሸ'2n(0) = (4n) ኤች2n-1(0) = 4n*0=0

5. የሚከተለውን ውጤት አሳይ

መፍትሔ :

የተደጋጋሚነት ግንኙነትን በመጠቀም

ሸ'n(x) = 2nHn-1 (x)

so

d3/dx3 {Hn(x)} = 23n (n-1) (n-2) ኤችn-3(x)

ይህንን m ጊዜያት መለየት

የሚሰጠው

6. ያንን አሳይ

Hn(-x) = (-1)n Hn(x)

መፍትሔ :

ብለን መፃፍ እንችላለን

ከ የቲn እና አለነ

እና ለ -x

7. ዋናውን ገምግመው ያሳዩ

መፍትሔ : ይህን ውህድ ክፍል ለመፍታት እንደ

አሁን በ Integral ምልክት ስር ያለው ልዩነት ይለያል

ለ x አክብሮት

በመጠቀም

ሸ'n(x) = 2nHn-1 (x)

ሸ'm(x) = 2mHM-1 (x)

እና አለነ

እና ከዚያ

𝝳 n፣m-1 =n+1፣ ሜትር

ስለዚህ የመዋሃድ ዋጋ ይሆናል

ማጠቃለያ:

በመተግበሪያው ውስጥ በተደጋጋሚ የሚከሰተው ልዩ ፖሊኖሚል የሄርሚት ፖሊኖሚል ነው, ስለዚህ መሰረታዊ ፍቺ, የማመንጨት ተግባር, ተደጋጋሚ ግንኙነቶች እና ምሳሌዎች ከ Hermite Polynomial ጋር የተያያዙ ምሳሌዎች እዚህ ላይ በአጭሩ ተብራርተዋል, ተጨማሪ ማንበብ ከፈለጉ ይሂዱ.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

በሂሳብ ላይ ለበለጠ ልጥፍ፣ እባክዎ የእኛን ይከተሉ የሂሳብ ገጽ

ወደ ላይ ሸብልል