የአፍታ ማመንጨት ተግባራት፡ 13 ጠቃሚ እውነታዎች

አፍታ የማመንጨት ተግባር    

ቅጽበት የማመንጨት ተግባር በጣም አስፈላጊ ተግባር ሲሆን ይህም አማካይ ፣ መደበኛ መዛባት እና ልዩነት ወዘተ የሚያካትት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አፍታዎችን ይፈጥራል ፣ ስለሆነም በቅጽበት ማመንጨት ተግባር ብቻ በመታገዝ መሰረታዊ አፍታዎችን እና ከፍተኛ አፍታዎችን ማግኘት እንችላለን ፣ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እኛ ለተለያዩ ልዩ እና ተከታታይ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅጽበት የማመንጨት ተግባራትን ያያሉ። የአፍታ ማመንጨት ተግባር (MGF) የሚገለፀው በ M (t) በተገለፀው የሂሳብ ጥበቃ እገዛ ነው ።

እና ትርጉሙን በመጠቀም ለተለየ እና ቀጣይነት ላለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ መጠበቅ ይህ ተግባር ይሆናል

ይህም t ዋጋን በዜሮ በመተካት በየወቅቱ ይፈጥራል። እነዚህን አፍታዎች መሰብሰብ ያለብን ይህንን አፍታ የማመንጨት ተግባር ለምሳሌ ለመጀመሪያ ጊዜ ወይም አንድ ጊዜ በመለየት ማግኘት እንችላለን ማለት ነው ።

ይህ ልዩነት በሚጠበቀው ስር ሊለዋወጥ የሚችል መሆኑን ፍንጭ ይሰጣል እና እኛ እንደ መጻፍ እንችላለን

t=0 ከሆነ ከላይ ያሉት አፍታዎች ይሆናሉ

በአጠቃላይ እንዲህ ማለት እንችላለን

ስለዚህ

የሁለትዮሽ ስርጭት ቅጽበት የማመንጨት ተግባር||ሁለትዮሽ ስርጭት አፍታ የማመንጨት ተግባር||MGF የሁለትዮሽ ስርጭት||የሁለትዮሽ ስርጭት አማካይ እና ልዩነት የአፍታ ማመንጨት ተግባርን በመጠቀም

የሁለትዮሽ ስርጭት ለሆነው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ቅጽበት የማመንጨት ተግባር የሁለትዮሽ ስርጭት ፕሮባቢሊቲ ተግባርን በ n እና p እንደ መለኪያዎች ይከተላል።

ይህም በሁለትዮሽ ቲዎሬም የተገኘው ውጤት ነው, አሁን ይለያል እና የ t=0 እሴትን ያስቀምጡ

የሁለትዮሽ ስርጭት አማካኝ ወይም የመጀመሪያ አፍታ በተመሳሳይ መልኩ ሁለተኛው ቅጽበት ይሆናል።

ስለዚህ የሁለትዮሽ ስርጭት ልዩነት ይሆናል

የቢኖሚል ስርጭት መደበኛ አማካኝ እና ልዩነት ነው፣በተመሳሳይ ከፍተኛውን አፍታዎች እንዲሁ ይህን አፍታ የማመንጨት ተግባር በመጠቀም ልናገኛቸው እንችላለን።

ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ዓሣ ስርጭት ||ዓሣ የማከፋፈያ ቅጽበት የማመንጨት ተግባር||MGF የ ዓሣ ስርጭት||የአፍታ ማመንጨት ተግባርን በመጠቀም የPoisson ስርጭት አማካኝ እና ልዩነት

 የነሲብ ተለዋዋጭ X ካለን እሱም ፖይሰን ከፓራሜትር ከላምዳ ጋር ይሰራጫል እንግዲህ የዚህ ስርጭት ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ይሆናል

አሁን ይህን መለየት ይሰጣል

ይህ ይሰጣል

ለ Poisson ስርጭት አማካኝ እና ልዩነትን ይሰጣል ይህም እውነት ነው።

የአብነት ስርጭት የአፍታ ማመንጨት ተግባር||አርቢ የማከፋፈያ ቅጽበት የማመንጨት ተግባር||MGF የ አርቢ ስርጭት|| አማካኝ እና ልዩነት አርቢ ቅጽበት የማመንጨት ተግባርን በመጠቀም ማሰራጨት።

                ትርጉሙን በመከተል ለአርቢ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ነው።

እዚህ የ t ዋጋ ከፓራሜትር ላምዳ ያነሰ ነው, አሁን ይህን ልዩነት ይለያል

አፍታዎችን የሚያቀርበው

በግልጽ

የትኛዎቹ የአብነት ስርጭት አማካኝ እና ልዩነት ናቸው።

ቅጽበት የማመንጨት ተግባር መደበኛ ስርጭት||ኖርማl የማከፋፈያ አፍታ የማመንጨት ተግባር||MGF የ ኖርማl ስርጭት|| አማካኝ እና ልዩነት የ የተለመደ ቅጽበት የማመንጨት ተግባርን በመጠቀም ማሰራጨት።

  ለተከታታይ ስርጭቶች የአፍታ ማመንጨት ተግባር እንዲሁ ከተለየው ጋር ተመሳሳይ ነው ስለሆነም ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ለመደበኛ ስርጭት ከመደበኛ የይሁንታ ጥግግት ተግባር ጋር ተመሳሳይ ይሆናል።

ይህንን ውህደት በማስተካከል መፍታት እንችላለን

የውህደት ዋጋ ስለሆነ 1. ስለዚህ ለመደበኛው መደበኛ ልዩነት ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ይሆናል

ከዚህ በመነሳት ግንኙነቱን በመጠቀም ለማንኛውም አጠቃላይ መደበኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ቅጽበት የማመንጨት ተግባርን ማግኘት እንችላለን

እንደዚህ

ስለዚህ ልዩነት ይሰጠናል

እንደዚህ

ስለዚህ ልዩነቱ ይሆናል

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ቅጽበት የማመንጨት ተግባር

አፍታ የማመንጨት ተግባር የነሲብ ተለዋዋጮች ድምር ጠቃሚ ንብረት ይሰጠናል ይህም የየራሳቸው የነጻ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅጽበት የሚያመነጨው ተግባር ጋር እኩል ነው ይህም ለገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X እና Y ከዚያም የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X+Y ድምር ቅጽበት ተግባር ነው።

አፍታ የማመንጨት ተግባር
MGF ኦፍ SUM

እዚህ የእያንዳንዱ X እና Y ቅጽበት የማመንጨት ተግባራት በ የሒሳብ ጥበቃ ንብረት. በተከታታይ የተለያዩ ስርጭቶችን የአፍታ ማመንጨት ተግባራትን ድምር እናገኛለን።

የሁለትዮሽ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X እና Y በየሁለትዮሽ ስርጭት ከግቤቶች (n፣p) እና (m፣p) በቅደም ተከተል ከተከፋፈሉ የእነሱ ድምር X+Y ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ይሆናል።

የድምሩ መለኪያዎች (n + m, p) ያሉበት.

የPoisson የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር

ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X እና Y በየራሳቸው መንገድ በፖይሰን ስርጭት የሚከፋፈሉበት ድምር ስርጭት እንደሚከተለው እናገኛለን።

የት

የPoisson የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X+Y አማካኝ ነው።

የመደበኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር

     ገለልተኛውን ግምት ውስጥ ያስገቡ መደበኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X እና Y ከመለኪያዎች ጋር

ከዚያም በዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር X+Y ግቤቶች ጋር

ስለዚህ የአፍታ ማመንጨት ተግባር ይሆናል

ከተጨማሪ አማካኝ እና ልዩነት ጋር ቅጽበት የሚያመነጭ ተግባር ነው።

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ለማግኘት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንውሰድ

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X የት1,X2፣…የማንኛውም ዓይነት የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል ናቸው፣ እነሱም ራሳቸውን ችለው እና በተመሳሳይ መልኩ ተሰራጭተዋል፣ ከዚያም የአፍታ ማመንጨት ተግባር ይሆናል

ይህም ቅጽበት የማመንጨት ተግባር እንደ ልዩነት ላይ Y ይሰጣል

ስለዚህ

በተመሳሳይ መልኩ ሁለት ጊዜ ልዩነት ይሰጣል

የሚሰጡዋቸውን

ስለዚህ ልዩነቱ ይሆናል

የቺ-ካሬ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ምሳሌ

የቺ-ካሬ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የነጻነት n-ዲግሪ ያለው ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ያሰሉ።

መፍትሄ፡ የቺ-ካሬ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከነፃነት n-ዲግሪ ጋር አስቡበት

የመደበኛ መደበኛ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል ከዚያ የአፍታ ማመንጨት ተግባር ይሆናል።

ስለዚህ ይሰጣል

መደበኛው እፍጋት ከአማካይ 0 እና ልዩነት σ ጋር2 ወደ 1 ይዋሃዳል

የነፃነት ደረጃ የሚፈለገው ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ነው።

የዩኒፎርም የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ምሳሌ

የነሲብ ተለዋዋጭ X በሁለትዮሽ የተከፋፈለው ከ n እና p ከተሰጡት ግቤቶች ጋር ቅጽበት የማመንጨት ተግባርን ያግኙ ሁኔታዊ በዘፈቀደ ተለዋዋጭ Y=p በጊዜ ክፍተት (0,1)

መፍትሔው፡- Y የተሰጠው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ቅጽበት የማመንጨት ተግባርን ለማግኘት

የሁለትዮሽ ስርጭትን በመጠቀም፣ sin Y በጊዜ ልዩነት (0,1፣XNUMX) ላይ ያለው ወጥ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው።

የጋራ አፍታ የማመንጨት ተግባር

የጋራ አፍታ የማመንጨት ተግባር ለ n ቁጥር የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X1,X2፣…,Xn

የት ቲ1,t2፣……ቲn እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው፣ ከጋራ ቅጽበት የማመንጨት ተግባር የግለሰብ ቅጽበት የማመንጨት ተግባርን እንደ ማግኘት እንችላለን

ቲዎረም፡ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X1,X2፣…,Xn የጋራ ሜሜንት ማመንጨት ተግባር ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ገለልተኛ ናቸው

ማረጋገጫ፡- የተሰጡት የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X እንደሆኑ እናስብ1,X2፣…,Xn ከዚያ ነፃ ናቸው

አሁን የጋራ አፍታ የማመንጨት ተግባር እኩልታውን ያረካል ብለው ያስቡ

  • የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን ለማረጋገጥ X1,X2፣…,Xn ነፃ ነን እኛ የጋራ ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ልዩ በሆነ ሁኔታ የጋራ ስርጭትን ይሰጣል (ይህ ሌላ አስፈላጊ ውጤት ነው ይህም ማስረጃ የሚያስፈልገው) ስለዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ገለልተኛ መሆናቸውን የሚያሳይ የጋራ ስርጭት ሊኖረን ይገባል ፣ ስለሆነም አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ ተረጋግጧል።

የጋራ አፍታ የማመንጨት ተግባር ምሳሌ

1. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X+Y እና XY የጋራ ቅጽበት የማመንጨት ተግባርን አስሉ

መፍትሄ፡ የነሲብ ተለዋዋጮች ድምር X+Y እና የነሲብ ተለዋዋጮች XY መቀነስ ነፃ ስለሆኑ ነፃ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች X እና Y እነዚህ የጋራ ቅጽበት የማመንጨት ተግባር ይሆናል።

ይህ ቅጽበት የማመንጨት ተግባር የጋራ ስርጭትን ስለሚወስን ከዚህ በመነሳት X+Y እና XY ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ናቸው።

2. ለሙከራ ያህል የተቆጠሩት እና ያልተቆጠሩ ክስተቶች በፖይሰን ስርጭት ከፕሮቢሊቲ p እና አማካኝ λ ጋር ይሰራጫሉ፣ የተቆጠሩ እና ያልተቆጠሩ ክስተቶች በየራሳቸው መንገድ λp እና λ(1-p) ነጻ መሆናቸውን አሳይ።

መፍትሄ፡- X እንደ የክስተቶች ብዛት እና X እንቆጥረዋለንc የተቆጠሩ ክስተቶች ብዛት ስለዚህ ያልተቆጠሩ ክስተቶች ቁጥር XX ነውc፣የጋራ አፍታ የማመንጨት ተግባር አፍታ ይፈጥራል

እና በአሁኑ ጊዜ የሁለትዮሽ ስርጭት ተግባርን በማመንጨት

እና እነዚህን መጠበቅ ይሰጣል

ማጠቃለያ:

መደበኛውን የአፍታ ማመንጨት ተግባርን በመጠቀም ለተለያዩ ስርጭቶች እንደ ሁለትዮሽ ፣ ፖይሰን ፣ መደበኛ ወዘተ ያሉ አፍታዎች ተብራርተዋል እና የእነዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ልዩ ወይም ቀጣይነት ያለው ቅጽበት የማመንጨት ተግባር እና የጋራ ቅጽበት የማመንጨት ተግባር የተገኘው በ ተስማሚ ምሳሌዎች ፣ ተጨማሪ ማንበብ ከፈለጉ ከዚህ በታች ያሉትን መጻሕፍት ይሂዱ ።

በሂሳብ ላይ ተጨማሪ መጣጥፎችን ለማግኘት እባክዎ የእኛን ይመልከቱ የሂሳብ ገጽ.

የመጀመሪያ ኮርስ በሼልደን ሮስ

የ Schaum የፕሮባቢሊቲ እና ስታቲስቲክስ ዝርዝሮች

በROHATGI እና SALEH የፕሮባቢሊቲ እና ስታቲስቲክስ መግቢያ

ወደ ላይ ሸብልል