ይህ የሚዛመደው ተከታታይ ልጥፍ ነው። አስተባባሪ ጂኦሜትሪ፣ በተለይ በርቷል ነጥቦች. ቀደም ሲል በጽሁፉ ውስጥ ጥቂት ርዕሰ ጉዳዮችን አውርተናል “ጂኦሜትሪ ለማስተባበር የተሟላ መመሪያ”. በዚህ ልኡክ ጽሁፍ የቀሩትን ርዕሰ ጉዳዮች እንነጋገራለን.
በ2ዲ ውስጥ በማስተባበር ጂኦሜትሪ ውስጥ ባሉ ነጥቦች ላይ መሰረታዊ ቀመሮች:
የትንታኔ ጂኦሜትሪ ነጥቦች ላይ ያሉት ሁሉም መሰረታዊ ቀመሮች እዚህ ተብራርተዋል እና ለቀላል እና ፈጣን ትምህርት በጨረፍታ ስለ ቀመሮች ሀ "በነጥቦች ላይ የቀመር ሰንጠረዥ" በግራፊክ ማብራሪያ ከዚህ በታች ቀርቧል.
ሁለት ነጥብ የርቀት ቀመሮች | የትንታኔ ጂኦሜትሪ፡
ርቀት ነገሮች፣ ቦታዎች ወዘተ ምን ያህል ርቀት እንደሚገኙ ለማወቅ መለኪያ ነው። ከክፍሎች ጋር የቁጥር እሴት አለው. በ Co-ordinate Geometry ወይም Analytical Geometry 2D ውስጥ፣ በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ለማስላት ከፓይታጎሪያን ቲዎረም የተገኘ ቀመር አለ። እንደ "ርቀት" ልንጽፈው እንችላለን d =√ [(x2-x1)2+(ይ2-y1)2 ] የት (x1,y1) ና (x2,y2) በ xy-plane ላይ ሁለት ነጥቦች ናቸው. አጭር ስዕላዊ መግለጫ ይከተላል 'በነጥብ ርዕስ ቁጥር 1 ላይ የቀመር ሰንጠረዥ' በታች ነበር.
ከመነሻው የአንድ ነጥብ ርቀት | የማስተባበር ጂኦሜትሪ;
ጉዟችንን በኦሪጅን በ xy-plane ከጀመርን እና የዚያ አውሮፕላን የትኛውንም ነጥብ ይዘን ብንጨርስ በመነሻ እና በነጥቡ መካከል ያለው ርቀት 'ርቀት' በሚለው ቀመር ሊገኝ ይችላል። OP=√ (x2 + ያ2), እሱም ደግሞ የተቀነሰ ቅጽ ነው "ሁለት ነጥብ ርቀት ቀመር" አንድ ነጥብ ጋር (0,0). አጭር ስዕላዊ መግለጫ ይከተላል 'በነጥብ ርዕስ ቁጥር 2 ላይ የቀመር ሰንጠረዥ' በታች ነበር.
የነጥብ ክፍል ቀመሮች |የጂኦሜትሪ አስተባባሪ፡
አንድ ነጥብ በተወሰነ ሬሾ ሁለት የተሰጡ ነጥቦችን የሚያገናኝ የመስመር ክፍልን ቢያከፋፍል የዚያ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት የክፍል ቀመሮችን መጠቀም እንችላለን የመስመሩ ክፍል የተከፋፈለበት ሬሾ ሲሰጥ እና በተቃራኒው። የመስመሩ ክፍል በውስጥም ሆነ በውጪ በነጥቡ ሊከፋፈል የሚችልበት እድል አለ። ነጥቡ በሁለቱ የተሰጡ ነጥቦች መካከል ባለው የመስመር ክፍል ላይ ሲተኛ፣ የውስጥ ክፍል ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ ማለትም
x = mx2+nx1/(ኤም+n)
ና
y = የእኔ2+ናይ1/(ኤም+n)
እና ነጥቡ ሁለቱን የተሰጡትን ነጥቦች በማጣመር በመስመሩ ክፍል ውጫዊ ክፍል ላይ ሲተኛ የውጫዊ ክፍል ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ ማለትም
y = የእኔ2- ናይ1/(ኤምን)
(x፣ y) የሚፈለጉት የነጥቡ መጋጠሚያዎች ናቸው ተብሎ በሚታሰብበት። እነዚህ በፊዚክስ ውስጥ ሴንትሮይድ ፣ ማእከሎች ፣ የሶስት ማዕዘን ክብ እና እንዲሁም የስርዓቶች መሃከል ፣ ሚዛናዊ ነጥቦችን ወዘተ ለማግኘት በጣም አስፈላጊ ቀመሮች ናቸው። የተለያዩ አይነት ክፍል ቀመሮችን አጭር እይታ በ ውስጥ ከታች ከተሰጡት ግራፎች ጋር መመልከት አለበት ነጥቦች ርዕስ ቁጥር 3 ላይ ቀመሮች ሰንጠረዥ; ጉዳይ-I እና ጉዳይ-II'.
የመሃል ነጥብ ቀመር| ጂኦሜትሪ ማስተባበር;
ከላይ ከተገለጹት የውስጥ ነጥቦች ክፍል ቀመሮች የተገኘ ቀላል ቀመሮች ነው። በመስመር ክፍል ላይ ካሉት ሁለት ነጥቦች ጋር እኩል የሆነ የመስመር ክፍል መካከለኛ ነጥብ ማለትም የነጥቡ መጋጠሚያ መፈለግ ሲገባን ይህ ቀመር 1፡1 ያገኛል። ቀመሩ በ መልክ ነው
አንድ ነጥብ በተወሰነ ሬሾ ሁለት የተሰጡ ነጥቦችን የሚያገናኝ የመስመር ክፍልን ቢያከፋፍል የዚያ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት የክፍል ቀመሮችን መጠቀም እንችላለን የመስመሩ ክፍል የተከፋፈለበት ሬሾ ሲሰጥ እና በተቃራኒው። የመስመሩ ክፍል በውስጥም ሆነ በውጪ በነጥቡ ሊከፋፈል የሚችልበት እድል አለ። ነጥቡ በሁለቱ የተሰጡ ነጥቦች መካከል ባለው የመስመር ክፍል ላይ ሲተኛ፣ የውስጥ ክፍል ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ ማለትም
x = mx2+nx1/(ኤም+n)
ና
y = የእኔ2+ናይ1/(ኤም+n)
እና ነጥቡ ሁለቱን የተሰጡትን ነጥቦች በማጣመር በመስመሩ ክፍል ውጫዊ ክፍል ላይ ሲተኛ የውጫዊ ክፍል ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ ማለትም
x = mx2- nx1/(ኤምን)
ና
y = የእኔ2- ናይ1/(ኤምን)
(x፣ y) የሚፈለጉት የነጥቡ መጋጠሚያዎች ናቸው ተብሎ በሚታሰብበት። እነዚህ በፊዚክስ ውስጥ ሴንትሮይድ ፣ ማእከሎች ፣ የሶስት ማዕዘን ክብ እና እንዲሁም የስርዓቶች መሃከል ፣ ሚዛናዊ ነጥቦችን ወዘተ ለማግኘት በጣም አስፈላጊ ቀመሮች ናቸው። የተለያዩ አይነት ክፍል ቀመሮችን አጭር እይታ በ ውስጥ ከታች ከተሰጡት ግራፎች ጋር መመልከት አለበት ነጥቦች ርዕስ ቁጥር 3 ላይ ቀመሮች ሰንጠረዥ; ጉዳይ-I እና ጉዳይ-II'.
የመሃል ነጥብ ቀመር| ጂኦሜትሪ ማስተባበር;
ከላይ ከተገለጹት የውስጥ ነጥቦች ክፍል ቀመሮች የተገኘ ቀላል ቀመሮች ነው። በመስመር ክፍል ላይ ካሉት ሁለት ነጥቦች ጋር እኩል የሆነ የመስመር ክፍል መካከለኛ ነጥብ ማለትም የነጥቡ መጋጠሚያ መፈለግ ሲገባን ይህ ቀመር 1፡1 ያገኛል። ቀመሩ በ መልክ ነው
x=x1+x2/2
ና
x = y1+y2/2
በ “በነጥብ ርዕስ ቁጥር 3- ጉዳይ-III ላይ የቀመር ሰንጠረዥ በዚህ ላይ ግራፊክ ሃሳቡን ለማግኘት ከታች.
በመጋጠሚያ ጂኦሜትሪ ውስጥ የሶስት ማዕዘን ቦታ፡-
ሶስት ማዕዘን በአውሮፕላኑ ላይ ወይም በ 2 ልኬት መስክ ላይ ሶስት ጎን እና ሶስት ጫፎች አሉት. የሶስት ማዕዘን ቦታ በእነዚህ ሶስት ጎኖች የተከበበ ውስጣዊ ክፍተት ነው. የሶስት ማዕዘን ስሌት መሰረታዊ ቀመር (1/2 X Base X ቁመት) ነው። በአናሊቲካል ጂኦሜትሪ የሦስቱም ጫፎች መጋጠሚያዎች ከተሰጡ፣ የሶስት ማዕዘኑ ስፋት በቀመሩ በቀላሉ ሊሰላ ይችላል። የሶስት ማዕዘን አካባቢ =|½[x1 (y2- y3 )+x2 (y3- y2)+x3 (y2-y 1)]| በእውነቱ ይህ የሶስት ጎንዮሽ ስፋት መሰረታዊ ቀመር በሁለት ነጥብ ርቀት ቀመር በተቀናጀ ጂኦሜትሪ በመጠቀም ሊገኝ ይችላል ። ሁለቱም ጉዳዮች በግራፊክ መልክ የተገለጹት በ 'በነጥብ ርዕስ 4 ላይ የቀመር ሰንጠረዥ' በታች ነበር.
የነጥቦች ውህደት (ሶስት ነጥቦች) |የጂኦሜትሪ አስተባባሪ፡
ኮሊነር ማለት 'በተመሳሳይ መስመር ላይ መሆን' ማለት ነው። በጂኦሜትሪ ውስጥ ሶስት ነጥቦች በአውሮፕላኑ ውስጥ አንድ ነጠላ መስመር ላይ ቢተኛ ከዜሮ ውጭ የሆነ ቦታ ያለው ሶስት ማእዘን ሊፈጥሩ አይችሉም ማለትም የሶስት ማዕዘኑ ቀመር በሦስቱ ኮሊኔር ነጥቦች መጋጠሚያዎች ከተተካ ፣ ውጤቱም የቦታው ስፋት። በእነዚያ ነጥቦች የተፈጠረው ምናባዊ ትሪያንግል በዜሮ ብቻ ያበቃል። ስለዚህ ቀመሩ ተመሳሳይ ይሆናል። ½ [x1 (y2- y3 )+x2 (y3- y2)+x3 (y2-y 1)] =0 ለበለጠ ግልጽ ሀሳብ ከግራፊክ ውክልና ጋር፣ በ "በነጥብ ርዕስ ቁጥር 5 ላይ የቀመር ሰንጠረዥ" በታች ነበር.
የሶስት ማዕዘን ሴንትሮይድ| ቀመር፡
የሶስት ማዕዘኑ ሦስቱ ሚዲያን * ሁል ጊዜ በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ፣ በሦስት ማዕዘኑ ውስጠኛ ክፍል ውስጥ ይገኛሉ እና መካከለኛውን በ 2: 1 ውስጥ ከማንኛውም ወርድ ወደ ተቃራኒው መካከለኛ ነጥብ ይከፍላሉ ። ይህ ነጥብ የሶስት ማዕዘን ሴንትሮይድ ይባላል. የሴንትሮይድ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ቀመር ነው
x=x1+x2+x3/3
ና
x = y1+y2+y3/3
በውስጡ "በነጥብ ርዕስ ቁጥር 6 ላይ የቀመር ሰንጠረዥ" ከዚህ በታች, ከላይ ያለው ርዕሰ ጉዳይ በተሻለ ለመረዳት እና ለፈጣን እይታ በግራፊክ ይገለጻል.
የሶስት ማዕዘን መሃል|ቀመር፡-
በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ የሚገጣጠመው የሦስት ማዕዘኑ ትልቁ ክብ መሃል ነው። እንዲሁም የሶስት ማዕዘኑ ውስጣዊ ማዕዘኖች የሶስቱ ቢሴክተሮች መገናኛ ነጥብ ነው. የሶስት ማዕዘን መሃከልን ለማግኘት የሚያገለግል ቀመር ነው።
x=ax1+ bx2+cx3/a+b+c
ና
x=ay1+በ2+cy3/a+b+c
በውስጡ "በነጥብ ርዕስ ቁጥር 6 ላይ የቀመር ሰንጠረዥ" ከዚህ በታች, ከላይ ያለው ርዕሰ ጉዳይ በተሻለ ለመረዳት እና ለፈጣን እይታ በግራፊክ ይገለጻል.
ለቀላል ሥዕላዊ መግለጫ ከዚህ በታች "በነጥብ ርዕስ ቁጥር 7 ላይ የቀመር ሰንጠረዥ" ለማየት ያስፈልጋል።
መነሻ ቀመር| ጂኦሜትሪ አስተባባሪ፡
ባለፈው ጽሁፍ ላይ አስቀድመን ተምረናል “ጂኦሜትሪ ለማስተባበር የተሟላ መመሪያ” መነሻው በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉት የመጥረቢያዎች መገናኛ ነጥብ በሆነው ነጥብ (0,0) ላይ እንደሚገኝ. መነሻውን ከመነሻው አንጻር በሁሉም የአውሮፕላኖች አራት ማዕዘናት ውስጥ ማንቀሳቀስ እንችላለን, ይህም በእሱ በኩል አዳዲስ መጥረቢያዎችን ያቀርባል.
ከላይ በተጠቀሰው አውሮፕላን ውስጥ ላሉት ነጥቦች ፣ መጋጠሚያዎቹ ከአዲሱ አመጣጥ እና መጥረቢያ ጋር ይለወጣሉ እና በቀመርው ሊሰላ የሚችል ፣ አዲስ የነጥብ መጋጠሚያዎች። ፒ(x1,y1) ናቸው x1 = x-a; y1 = y- b የአዲሱ አመጣጥ መጋጠሚያዎች (a,b) ባሉበት. በዚህ ርዕስ ላይ ግልጽ ግንዛቤ እንዲኖርዎት ከዚህ በታች ያለውን ስዕላዊ መግለጫ በ ውስጥ ማየት ይመረጣል "በነጥብ ርዕስ ቁጥር 8 ላይ የቀመር ሰንጠረዥ" .
Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:
﹡የሶስት ማዕዘን መሃል፡
የሶስት ማዕዘን ጎን የሶስት ቋሚ የቢስተሮች መገናኛ ነጥብ ነው. እንዲሁም የሶስት ማዕዘን ጫፎችን ብቻ የሚነካ የሶስት ማዕዘን ክብ መሃል ነው.
﹡ሚዲያዎች፡-
ሚዲያን የሶስት ማዕዘን ጫፍን ወደ መሃከለኛ ነጥብ ወይም ነጥቡ የሚያገናኝ የመስመር ክፍል ሲሆን የ vertex ተቃራኒውን ጎን ለሁለት ይከፍላል። እያንዳንዱ ትሪያንግል ሶስት ሚድያኖች አሉት እነሱም ሁል ጊዜ እርስ በእርሳቸው የሚቆራኙት በተመሳሳዩ ትሪያንግል ሴንትሮይድ።
በ2ዲ ውስጥ በማስተባበር ጂኦሜትሪ ውስጥ ባሉ ነጥቦች ላይ ያሉ ችግሮች ተፈተዋል።
በ 2D ውስጥ ስለ ነጥቦች የበለጠ ለመማር አንድ መሰረታዊ ምሳሌ እዚህ ደረጃ በደረጃ ተፈቷል እና በራስዎ ልምምድ በእያንዳንዱ ቀመር ላይ ተጨማሪ ችግሮች አሉ ። በአስተባባሪ ጂኦሜትሪ 2D ውስጥ በነጥቦች ርዕስ ላይ መሰረታዊ እና ግልጽ ሀሳብ ካገኘሁ በኋላ በሚቀጥሉት መጣጥፎች ውስጥ የመፍትሄው ፈታኝ ችግሮች ሊኖሩ ይገባል ።
በቀመርዎቹ ላይ መሰረታዊ ምሳሌዎች "በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት"
ችግሮች 1፡- በተሰጡት ሁለት ነጥቦች (1,2፣6) እና (3፣-XNUMX) መካከል ያለውን ርቀት አስላ።
መፍትሔው ምንድን ነው? በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ቀመር አስቀድመን አውቀናል (x1,y1) ና (x2,y2) is d =√ [(x2-x1)2+(ይ2-y1)2 ]…(1)
(ከላይ ያለውን የቀመር ሰንጠረዥ ይመልከቱ) እዚህ፣ ያንን መገመት እንችላለን (x1,y1) ≌ (1,2፣XNUMX) እና (x2,y2) ≌ (6,-3) ማለትም x1=1፣ y1=2 እና x2=6፣ y2 = -3, እነዚህን ሁሉ እሴቶች በቀመር (1) ውስጥ ካስቀመጥን አስፈላጊውን ርቀት እናገኛለን.
ስለዚህ, በሁለቱ ነጥቦች (1,2) እና (6,-3) መካከል ያለው ርቀት
=√ [(6-1)2(-3-2)2 ] ክፍሎች
= √ [(5)2+(-5)2 ] ክፍሎች
=√ [25+25 ] ክፍሎች
=√ [50 ] ክፍሎች
=√ [2×52 ] ክፍሎች
= 5√2 ክፍሎች (መልሶች)
ማስታወሻ: ርቀቱ ሁልጊዜ አንዳንድ ክፍሎች ይከተላሉ።
ከዚህ በላይ የተገለፀውን አሰራር በመጠቀም ለቀጣይ ልምምድ (መሰረታዊ) ተጨማሪ ምላሽ ያላቸው ችግሮች ከዚህ በታች ተሰጥተዋል። ችግር 1:-
ችግር 2፡ በሁለቱ ነጥቦች (2,8፣5,10) እና (XNUMX፣XNUMX) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
መልስ. √13 አሃዶች
ችግር 3፡ በሁለቱ ነጥቦች (-3፣-7) እና (1፣-10) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
መ. 5 አሃዶች
ችግር 4፡ በሁለቱ ነጥቦች (2,0፣3,4) እና (-XNUMX፣XNUMX) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ.
መልስ. √41 አሃዶች
ችግር 5፡ በሁለቱ ነጥቦች (2፣-4) እና (0,0፣XNUMX) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
መ. 2√5 አሃዶች
ችግር 6፡ በሁለቱ ነጥቦች (10,100) እና (-10,100,) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
መ. 20 አሃዶች
ችግር 7፡ በሁለቱ ነጥቦች (√5,1) እና (2√5,1) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
መልስ. √5 አሃዶች
ችግር 8፡ በሁለቱ ነጥቦች (2√7,2፣3) እና (7√1፣-XNUMX) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
መልስ. 4 አሃዶች
ችግር 9፡ በሁለቱ ነጥቦች (2+√10፣ 0) እና (2-√10፣ 0) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
መልስ. 2√10 አሃዶች
ችግር 10፡ በሁለቱ ነጥቦች (2+3i፣ 0) እና (2-3i፣ 10) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ። { i=√-1}
መ. 8 አሃዶች
ችግር 11፡ በሁለቱ ነጥቦች (2+i, -5) እና (2-i, -7) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ። { i=√-1}
መልስ. 0 አሃዶች
ችግር 12፡ በሁለቱ ነጥቦች (7+4i፣2i) እና (7-4i፣ 2i) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ። { i=√-1}
መልስ. 8i አሃዶች
ችግር 13፡ በሁለቱ ነጥቦች (√3+i, 3) እና (2√3+i, 5) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ። { i=√-1}
መልስ. √7 አሃዶች
ችግር 14፡ በሁለቱ ነጥቦች (5+√2፣ 3+i) እና (2+√2፣ 7+2i) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ። { i=√-1}
መልስ. 2√(6+2i) አሃዶች
በቀመርዎቹ ላይ መሰረታዊ ምሳሌዎች “የነጥብ ርቀት ከመነሻው”
ችግሮች 15፡ ከመነሻው የነጥብ (3,4፣XNUMX) ርቀት ይፈልጉ።
መፍትሔው ምንድን ነው?
ከመነሻው የነጥብ ርቀት ቀመር አለን ፣ OP=√ (x2 + ያ2) (ከላይ ያለውን የቀመር ሰንጠረዥ ይመልከቱ) ስለዚህ እዚህ (x,y) ≌ (3,4) ማለትም x=3 እና y=4 መገመት እንችላለን.
ስለዚህ, እነዚህን የ x እና y እሴቶች ከላይ ባለው ቀመር ውስጥ በማስቀመጥ አስፈላጊውን ርቀት እናገኛለን
=√ (32 + 42) ክፍሎች
=√ (9 + 16) ክፍሎች
= √ (25) ክፍሎች
= 5 ክፍሎች
ማሳሰቢያ፡ ርቀቱ ሁል ጊዜ በአንዳንድ ክፍሎች ይከተላል።
ማሳሰቢያ፡ የአንድ ነጥብ ርቀት ከመነሻው በትክክል በነጥቡ እና በመነሻው መካከል ያለው ርቀት ማለትም (0,0)
ከዚህ በላይ የተገለፀውን አሰራር በመጠቀም ለቀጣይ ልምምድ ተጨማሪ መልስ ያላቸው ችግሮች ከዚህ በታች ተሰጥተዋል።
ችግር 15:-
ችግር 16፡ የነጥቡን ርቀት (1,8፣XNUMX) ከመነሻው ይፈልጉ።
መልስ. √65 አሃዶች
ችግር 17፡ የነጥቡን ርቀት (0,7፣XNUMX) ከመነሻው ይፈልጉ።
መልስ. 7 አሃዶች
ችግር 18፡ የነጥቡን ርቀት (-3፣-4) ከመነሻው ይፈልጉ።
መልስ. 5 አሃዶች
ችግር 19፡ የነጥቡን ርቀት (10,0፣XNUMX) ከመነሻው ይፈልጉ።
መልስ. 10 አሃዶች
ችግር 20፡ የነጥቡን ርቀት (0,0፣XNUMX) ከመነሻው ይፈልጉ።
መልስ. 0 አሃዶች
___________________________________________________________
